Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.
Рассмотрим способы расчета напряжений при плоском поперечном изгибе балки
Расчет напряжений
Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент Mx
представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.
Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:
где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
Ix — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.
Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.
По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.
Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.
Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y1=y2=h/2:
Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.
Для несимметричного сечения
напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:
где:
WX — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
WX(1) и WX(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.
Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.
Условия прочности при изгибе
Прочность по нормальным напряжениям
Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.
В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.
Здесь:
Mmax — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре Mx;
[σ], [σ]р, [σ]с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).
Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [σ]с>[σ]р.
В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.
При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:
- Проверка прочности
- Подбор сечений
- Определение максимально допустимой нагрузки
Прочность по касательным напряжениям
В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.
Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского
где
Sx отс — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
by — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.
Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Qmax:
где [τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.
Полная проверка прочности
Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:
- По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
- По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
- По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда Mmax и Qmax действуют в одном и том же сечении балки).
При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:
так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.
Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах