Метод определения пространственного положения центра тяжести машин

metod opredeleniya prostranstvennogo polozheniya czentra tyazhesti mashin Блог

Blinov I.A. Method for determining the spatial position of the center of gravity of machines. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(2):71-82. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-2-71-82

Введение

Значение точного и удобного способа опреде­ления положения центра тяжести изготовляе­мых изделий трудно переоценить. Положение центра тяжести машины влияет на такие ее качественные показатели, как устойчивость во время движения, плавучесть, распреде­ление нагрузки по несущим элементам кон­струкции, плавность хода и др. [1].

Наиболее простой и распространенный (применяется в том числе в АО «ИЭМЗ «Ку­пол») экспериментальный метод определения центра тяжести машины заключается в следую­щем. Испытываемую машину (поз. 1 на рис. 1) подвешивают за специальные кронштейны (поз. 2) с помощью строп (поз. 3), закрепленных на траверсе (поз. 4). Подъем траверсы осущест­вляется кран-балкой. Положение центра тяжести в поднятом состоянии влияет на распределение нагрузки по стропам. Координаты центра тяже­сти машины xc, yc определяют в зависимости от показаний динамометров (поз. 5) из уравнений равновесия машины в подвешенном состоянии:

Ti — сила натяжения в стропе i.

Рис. 1. Схема измерений:

1 — испытываемая машина; 2 — кронштейны; 3 — стро­пы; 4 — траверса; 5 — динамометры

Данный метод обладает рядом недостат­ков, наиболее существенным является невоз­можность определения высотной координаты центра тяжести zc.

Альтернативный способ определения центра тяжести изложен в [2]. Согласно ГОСТ 30750 -2001, центр тяжести определяется ме­тодом измерения реакции опор при установке испытываемой машины в горизонтальное и два наклонных положения: с поднятой передней и задней частями в соответствии с рис. 2. Для определения реакции опор используют плат­форменные весы.

Первое взвешивание проводят с накло­ном корпуса в продольной плоскости на угол α (рис. 2, а). Наклон можно обеспечить подня­тием передней части машины кран-балкой. Ре­зультаты взвешивания позволяют определить координату центра тяжести ас по формуле

Для второго взвешивания обеспечивают наклон машины β в той же плоскости в другую сторону, приподнимая заднюю часть машины (рис. 2, б). Вторую координату центра тяжести bc определяют по формуле

Рис. 2. Схемы к методу по ГОСТ 30750 -2001: а — первое взвешивание; б — второе взвешивание; в — третье взвешивание

Этой координате соответствуют точки в плоскости Ω.

Первые два взвешивания ограничивают область поиска центра тяжести до прямой h в пересечении плоскостей Θ и Ω. Точное по­ложение центра тяжести на прямой h опре­деляется координатой xc, рассчитываемой по формуле

в зависимости от результатов третьего взве­шивания в горизонтальном положении маши­ны (рис. 2, в). Для определения действитель­ной массы изделия m необходимо еще одно взвешивание.

Стандартный метод выгодно отличается от применяемого на предприятии возможно­стью определения высотной координаты цен­тра тяжести, однако требует использования платформенных весов, большего количества взвешиваний и занимает больше времени.

Несмотря на существование ряда техни­ческих решений задачи определения центра тяжести изделий, нет достаточно универсаль­ного и простого способа, который давал бы исчерпывающую информацию о положении центра тяжести и при этом не увеличивал бы номенклатуру производственного оснащения для ее получения. В связи с этим целью дан­ной статьи является разработка метода опре­деления пространственного положения центра тяжести подвешиванием с использованием простых и распространенных технологиче­ских средств при минимизации применения специальных силоизмерительных приборов и количества операций взвешивания.

Для выполнения экспериментальной ча­сти процесса откажемся от сложной специ­альной оснастки в пользу имеющейся в цехах производства транспортно-грузовой: будем использовать грузовую траверсу, стропы и кран козлового либо башенного типа. Тогда постав­ленной цели можно достигнуть установлением аналитических взаимосвязей между положения­ми изделия в подвешенном равновесном состоя­нии на грузовой траверсе и тремя координатами его центра тяжести. Взаимосвязи можно выра­зить уравнениями равновесия элементов измери­тельной системы и уравнениями аналитической геометрии, а их количество и состав в математи­ческой модели подобрать таким образом, чтобы исключить силовые параметры из перечня не­зависимых (подлежащих экспериментальному определению). Это позволит устранить необхо­димость в использовании силоизмерительных средств в составе измерительной схемы.

В зависимости от числа одновременно обрабатываемых координат рассматриваемая задача может быть либо пространственной, либо плоской. Практический интерес представ­ляет решение наиболее общей пространствен­ной задачи. Однако выполнить предваритель­ную теоретическую проверку принципиальной возможности определения наиболее проблем­ной высотной координаты предлагаемым спо­собом рациональнее на примере решения ма­тематически простой плоской задачи.

Решение плоской задачи

Установившееся равновесное состояние гео­метрически изменяемой системы траверса — стропы — машина зависит от координат центра тяжести машины и траверсы. Две искомые коор­динаты центра масс машины в плоскости можно определить по аналогии с рассмотренным стан­дартным методом путем подвешивания машины под двумя разными углами. Реализовать подвеши­вание под разными углами можно за счет примене­ния пар строп разной длины, меняя местами пары.

Каждому положению центра тяжести со­ответствует комбинация положений системы траверса — стропы — машина до и после пере­мены строп местами. Чтобы выразить анали­тически это соответствие, обратимся к схеме нагружения элементов системы в двух случаях, изображенных на рис. 3. Здесь ADG — траверса, шарнирно закрепленная относительно под­веса с одной степенью свободы — вращением вокруг шарнира D. Положение траверсы опре­деляется углом γTi, где i ∈ < ,1 2>— порядковый номер подвешивания. Траверса характеризу­ется следующими известными параметрами: массой mT, размерами HT и lT , координатой положения ее центра масс ZCT . AO и GK — стропы с длинами I1 и I2 соответственно. Силы натяжения в стропах T1i и T2i отклонены от вертикали на углы α1; и α2i соответственно.

Рис. 3. Расчетные схемы для плоской задачи: а — до перемены пар строп местами; б — после переме­ны пар строп местами

Испытываемая машина условно пред­ставлена в виде прямоугольника MNFE. Точки O и K- крепление строп к корпусу машины (кронштейны). Точка С — центр тяжести маши­ны с искомыми координатами xc, zc относи­тельно левого кронштейна O в системе коор­динат машины. Полярные координаты центра тяжести машины — радиус-вектор ρ и его угол наклона φ. Ориентация машины в установив­шемся положении i определяется углом ее на­клона к горизонтали γi. Прочие известные па­раметры машины: масса т, размеры LM и H, расстояние между кронштейнами L, коорди­ната левого кронштейна относительно торца машины L0.

В плоскости рисунка примем декартову систему координат xDz. Соединения строп с машиной и траверсой условимся считать иде­альными шарнирами без сил трения, удлине­ниями строп при их натяжении и массой строп пренебрегаем.

Свяжем положения системы при двух подвешиваниях с полярными координатами центра тяжести машины уравнениями равно­весия [3]. В установившемся положении i рав­нодействующий момент, создаваемый смещен­ными относительно точки D силами тяжести траверсы и машины, должен быть нулевым:

где AD- длина плеча траверсы, AD =

δ- угол при вершинах A и G траверсы,

γ1 и γ 2 — углы наклона машины к гори­зонтали в первом и во втором случае соответ­ственно; верхний знак «+» относится к γ 1, нижний «-» к γ 2.

Совместное решение двух уравнений (1), составленных для каждого из двух случаев при известных параметрах положения системы (YТ1, YТ2, Y1, Y2, α 11, α 22), позволяет определить полярные координаты центра тяжести машины ρ и φ. К декартовым координатам центра тя­жести можно перейти известным способом [4]:

Параметры γТ1, γТ2, γ 1, γ2, α11, α22 пред­варительно определяются из математических моделей, описывающих каждое из двух равно­весных положений системы. Модели содержат уравнения равновесия и уравнения, выражаю­щие геометрические связи элементов в систе­ме. Два силовых и одно моментное уравнения равновесия траверсы имеют вид

где сила натяжения тягового троса определя­ется по формуле

Геометрические уравнения выражают замкнутость геометрически изменяемого че­тырехугольника AGKO:

В проекциях на оси z и x и получим еще два уравнения

Таким образом, получено по пять урав­нений для каждого случая i с шестью пере­менными параметрами: T1i,T2i, α1i, α2i, γTi, γi. Один параметр среди них можно считать неза­висимым и подлежащим измерению. Остальные пять параметров определяются в зави­симости от него через пять составленных уравнений.

Если выбрать в качестве независимого измеряемого параметра геометрический, на­пример угол наклона машины γ i, то исчезает необходимость в определении силовых пара­метров, а значит, и в использовании силоизме­рительных средств. Угол наклона достаточно просто определить экспериментально, напри­мер, по разнице высот двух точек машины E и F над уровнем пола по формуле

Таким образом, мы удостоверились в принципиальной возможности определения высотной координаты центра тяжести подве­шиванием и в отсутствии необходимости ис­пользования для этого каких-либо силоизме­рительных средств.

Вторым этапом решим пространствен­ную задачу и разработаем алгоритм определе­ния положения центра тяжести.

Решение пространственной задачи

Решение задачи в пространстве во многом аналогично решению плоской задачи. Основ­ные отличия в большем количестве параме­тров, описывающих равновесные состояния элементов измерительной системы, которые определяются большим числом совместно решаемых уравнений.

В пространстве удобно пользоваться формулами матричных преобразований при пространственных поворотах и смещениях [4]. Поэтому пространственные объекты зададим в виде матриц координат их узловых точек. Силы в пространстве определяются тремя не­зависимыми параметрами. Зададим их проек­циями на оси координат, это позволит исполь­зовать в качестве плеч моментов в уравнениях статики соответствующие координаты точек приложения этих сил.

Расчетные схемы системы в пространстве для двух взвешиваний изображены на рис. 4. Положение траверсы ABDEF в случае i зада­ется углами ее поворота вокруг собственных координатных осей γTix, γTiy и γTiz, nA — век­тор нормали к плоскости фигуры BDEF. Tjik — проекции силы натяжения стропы j в случае i на координатную ось k.

Рис. 4 (начало). Расчетные схемы для пространственной задачи: а — до перемены пар строп местами

Рис. 4 (окончание). Расчетные схемы для пространственной задачи: б — после перемены пар строп местами

Если матрица пространственных коор­динат узловых точек траверсы до ее поворота вокруг собственных осей, проходящих через шарнир А,

то в установившемся равновесном состоянии координаты узловых точек зависят от углов ориентации траверсы γTiy и γTiz в соответ­ствии с известной формулой

Координаты концов строп связаны с ко­ординатами узловых точек траверсы уравне­нием

где Tij — силы натяжения в стропах, Tij =

BO, DG, FM, EK — длины строп в растянутом под нагрузкой состоянии.

По закону Гука длина стропы j в растя­нутом состоянии lj + JljTji, где J — продольная податливость стропы [5].

Представленные в уравнениях (10) и (11) координаты узловых точек используются в ма­тематических моделях положения системы в двух случаях.

Математические модели представляют собой совокупность уравнений равновесия и геометрических уравнений. Шесть уравнений равновесия траверсы для случая i имеют вид

где T — сила натяжения тягового троса, опре­деляется по формуле (6);

m B ∈ (B, E, F, D), — зависимости координат узло­вых точек от углов ориентации траверсы, вы­числяются из формулы (10).

Геометрические уравнения выражают условия замкнутости пространственных четы­рехугольников BOKE и BOMF при различных углах ориентации машины в пространстве γiy и γiz:

В проекциях на координатные оси с уче­том (10) и (11) получаем дополнительно девять уравнений:

При известных углах ориентации машины система пятнадцати уравнений (12) –(26), решенная относительно 15 неизвестных – T1ix , T1iy , T1iz, T2ix , T2iy , T2iz, T3ix , T3iy , T3iz, T4ix , T4iy , T4iz, γTix , γTiy , γTiz, – позволяет полностью определить параметры положения системы в данном случае i.

Углы ориентации машины в простран­стве γix , γiy и γiz в случае i находятся из мат­ричного преобразования координат трех точек V, Q, R при повороте машины (см. рис. 4):

Если выразить из формулы (27) разницы высотных координат точек V, Q, R попарно и приравнять их к разницам измеренных высот этих точек над уровнем пола, то получим си­стему трех уравнений для определения углов

Параметры положения системы в двух случаях необходимы для определения коор­динат центра тяжести машины из моментных уравнений равновесия

где функциональные зависимости координат центра тяжести машины в системе xyz от ко­ординат центра тяжести в собственной систе­ме координат Xc , Yc , Zc :

функциональные зависимости координат уз­ловых точек траверсы от углов ее ориентации выражаются из формулы (10).

Решая уравнения (29) относительно Xc , Yc , Zc , определяем искомое положение цен­тра тяжести машины.

Таким образом, при известных парамет­рах измерительной системы — m, mT , ZcT , HT ,aT , bT , L, LM , LO, B, l1, l2, l3, l4, J — алгоритм определения центра тяжести машины в про­странстве включает в себя следующие действия:

  1. подвесить систему (см. рис. 4, а) и до­ждаться установившегося равновесия;
  2. измерить высоту трех точек машины hV1, hQ1, hR1 над уровнем пола;
  3. решить систему уравнений (12) — (26), приняв i = 1 относительно T11x, T11y, T11z, T21x, T21y , T21z, T31x , T31y , T31z, T41x , T41y , T41z, γT x1 , γT y1 , γT1z
  4. поменять пары строп 1, 2 и 3, 4 (см. рис. 4) местами, подвесить систему и дождать­ся установившегося равновесия;
  5. определить высоту точек машины hV2, hQг, hR2 над уровнем пола;
  6. решить систему уравнений (12) — (26), приняв i = 2 относительно T12x , T12 y , T12z, T22x , T22 y , T22z, T32x , T32 y , T32z, T42x , T42 y , T42z, γT x 2 , γT y 2 , γT 2z;
  7. решить систему уравнений (28) для каждого из двух случаев подвешивания и опре­делить углы y1x y1y y1z y2x y2y y2z;
  8. использовать параметры, найденные в п. 3, 6, 7, для решения системы уравнений (29) относительно координат центра тяжести машины в собственной системе координат Xc ,Yc, Zc.

Для уменьшения трудоемкости матема­тической обработки результатов измерений была составлена программа в среде MathCAD. Преимущества использования MathCAD для решения данной задачи обусловлены наличием встроенных средств для расчета систем нели­нейных уравнений.

Составленная программа позволяет ав­томатически вычислить координаты центра тяжести машины в зависимости от параметров измерительной системы и полученных измере­нием значений высот точек V, Q, R машины над уровнем пола для двух случаев подвешивания. Программа выводит численные значения коор­динат и показывает положения измерительной системы с центрами тяжести элементов в трех проекциях для каждого случая, а также центр тяжести машины в ее собственной системе координат в трех проекциях. Примеры резуль­татов работы программы приведены на рис. 5.

Заключение

Разработанный метод определения координат центра тяжести машины не требует исполь­зования силоизмерительных устройств в со­ставе измерительной схемы, ориентирован на применение простых имеющихся в наличии цеховых средств подвешивания машины, по­зволяет определять все три координаты цен­тра тяжести и является хорошей альтернати­вой методу, используемому на предприятии.

Снизить трудоемкость математической обработки результатов измерений позволяет написанная на основании разработанного ал­горитма программа.

В рамках данной статьи рассмотрена принципиальная возможность определения центра тяжести предлагаемым способом, осно­ванная на математических выкладках. В рам­ках дальнейших работ будет оценена точность метода, исследовано влияние погрешностей применяемых средств на погрешность опреде­ления центра тяжести, представлены результа­ты пробных испытаний на базе производства АО «ИЭМЗ «Купол».

Оцените статью
AUTO-EL-86.ru
Добавить комментарий