Метод определения пространственного положения центра тяжести машин

Blinov I.A. Method for determining the spatial position of the center of gravity of machines. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(2):71-82. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-2-71-82

Введение

Значение точного и удобного способа опреде­ления положения центра тяжести изготовляе­мых изделий трудно переоценить. Положение центра тяжести машины влияет на такие ее качественные показатели, как устойчивость во время движения, плавучесть, распреде­ление нагрузки по несущим элементам кон­струкции, плавность хода и др. [1].

Наиболее простой и распространенный (применяется в том числе в АО «ИЭМЗ «Ку­пол») экспериментальный метод определения центра тяжести машины заключается в следую­щем. Испытываемую машину (поз. 1 на рис. 1) подвешивают за специальные кронштейны (поз. 2) с помощью строп (поз. 3), закрепленных на траверсе (поз. 4). Подъем траверсы осущест­вляется кран-балкой. Положение центра тяжести в поднятом состоянии влияет на распределение нагрузки по стропам. Координаты центра тяже­сти машины x_c, y_c определяют в зависимости от показаний динамометров (поз. 5) из уравнений равновесия машины в подвешенном состоянии:

T_i — сила натяжения в стропе i.

Рис. 1. Схема измерений:

1 — испытываемая машина; 2 — кронштейны; 3 — стро­пы; 4 — траверса; 5 — динамометры

Данный метод обладает рядом недостат­ков, наиболее существенным является невоз­можность определения высотной координаты центра тяжести z_c.

Альтернативный способ определения центра тяжести изложен в [2]. Согласно ГОСТ 30750 -2001, центр тяжести определяется ме­тодом измерения реакции опор при установке испытываемой машины в горизонтальное и два наклонных положения: с поднятой передней и задней частями в соответствии с рис. 2. Для определения реакции опор используют плат­форменные весы.

Первое взвешивание проводят с накло­ном корпуса в продольной плоскости на угол α (рис. 2, а). Наклон можно обеспечить подня­тием передней части машины кран-балкой. Ре­зультаты взвешивания позволяют определить координату центра тяжести а_с по формуле

Для второго взвешивания обеспечивают наклон машины β в той же плоскости в другую сторону, приподнимая заднюю часть машины (рис. 2, б). Вторую координату центра тяжести b_c определяют по формуле

Рис. 2. Схемы к методу по ГОСТ 30750 -2001: а — первое взвешивание; б — второе взвешивание; в — третье взвешивание

Этой координате соответствуют точки в плоскости Ω.

Первые два взвешивания ограничивают область поиска центра тяжести до прямой h в пересечении плоскостей Θ и Ω. Точное по­ложение центра тяжести на прямой h опре­деляется координатой x_c, рассчитываемой по формуле

в зависимости от результатов третьего взве­шивания в горизонтальном положении маши­ны (рис. 2, в). Для определения действитель­ной массы изделия m необходимо еще одно взвешивание.

Стандартный метод выгодно отличается от применяемого на предприятии возможно­стью определения высотной координаты цен­тра тяжести, однако требует использования платформенных весов, большего количества взвешиваний и занимает больше времени.

Несмотря на существование ряда техни­ческих решений задачи определения центра тяжести изделий, нет достаточно универсаль­ного и простого способа, который давал бы исчерпывающую информацию о положении центра тяжести и при этом не увеличивал бы номенклатуру производственного оснащения для ее получения. В связи с этим целью дан­ной статьи является разработка метода опре­деления пространственного положения центра тяжести подвешиванием с использованием простых и распространенных технологиче­ских средств при минимизации применения специальных силоизмерительных приборов и количества операций взвешивания.

Для выполнения экспериментальной ча­сти процесса откажемся от сложной специ­альной оснастки в пользу имеющейся в цехах производства транспортно-грузовой: будем использовать грузовую траверсу, стропы и кран козлового либо башенного типа. Тогда постав­ленной цели можно достигнуть установлением аналитических взаимосвязей между положения­ми изделия в подвешенном равновесном состоя­нии на грузовой траверсе и тремя координатами его центра тяжести. Взаимосвязи можно выра­зить уравнениями равновесия элементов измери­тельной системы и уравнениями аналитической геометрии, а их количество и состав в математи­ческой модели подобрать таким образом, чтобы исключить силовые параметры из перечня не­зависимых (подлежащих экспериментальному определению). Это позволит устранить необхо­димость в использовании силоизмерительных средств в составе измерительной схемы.

В зависимости от числа одновременно обрабатываемых координат рассматриваемая задача может быть либо пространственной, либо плоской. Практический интерес представ­ляет решение наиболее общей пространствен­ной задачи. Однако выполнить предваритель­ную теоретическую проверку принципиальной возможности определения наиболее проблем­ной высотной координаты предлагаемым спо­собом рациональнее на примере решения ма­тематически простой плоской задачи.

Решение плоской задачи

Установившееся равновесное состояние гео­метрически изменяемой системы траверса — стропы — машина зависит от координат центра тяжести машины и траверсы. Две искомые коор­динаты центра масс машины в плоскости можно определить по аналогии с рассмотренным стан­дартным методом путем подвешивания машины под двумя разными углами. Реализовать подвеши­вание под разными углами можно за счет примене­ния пар строп разной длины, меняя местами пары.

Каждому положению центра тяжести со­ответствует комбинация положений системы траверса — стропы — машина до и после пере­мены строп местами. Чтобы выразить анали­тически это соответствие, обратимся к схеме нагружения элементов системы в двух случаях, изображенных на рис. 3. Здесь ADG — траверса, шарнирно закрепленная относительно под­веса с одной степенью свободы — вращением вокруг шарнира D. Положение траверсы опре­деляется углом γ_Ti, где i ∈ < ,1 2>— порядковый номер подвешивания. Траверса характеризу­ется следующими известными параметрами: массой m_T, размерами H_T и l_T , координатой положения ее центра масс Z_CT . AO и GK — стропы с длинами I₁ и I₂ соответственно. Силы натяжения в стропах T_1i и T_2i отклонены от вертикали на углы α_1; и α_2i соответственно.

Рис. 3. Расчетные схемы для плоской задачи: а — до перемены пар строп местами; б — после переме­ны пар строп местами

Испытываемая машина условно пред­ставлена в виде прямоугольника MNFE. Точки O и K- крепление строп к корпусу машины (кронштейны). Точка С — центр тяжести маши­ны с искомыми координатами x_c, z_c относи­тельно левого кронштейна O в системе коор­динат машины. Полярные координаты центра тяжести машины — радиус-вектор ρ и его угол наклона φ. Ориентация машины в установив­шемся положении i определяется углом ее на­клона к горизонтали γ_i. Прочие известные па­раметры машины: масса т, размеры L_M и H, расстояние между кронштейнами L, коорди­ната левого кронштейна относительно торца машины L₀.

В плоскости рисунка примем декартову систему координат xDz. Соединения строп с машиной и траверсой условимся считать иде­альными шарнирами без сил трения, удлине­ниями строп при их натяжении и массой строп пренебрегаем.

Свяжем положения системы при двух подвешиваниях с полярными координатами центра тяжести машины уравнениями равно­весия [3]. В установившемся положении i рав­нодействующий момент, создаваемый смещен­ными относительно точки D силами тяжести траверсы и машины, должен быть нулевым:

где AD- длина плеча траверсы, AD =

δ- угол при вершинах A и G траверсы,

γ₁ и γ ₂ — углы наклона машины к гори­зонтали в первом и во втором случае соответ­ственно; верхний знак «+» относится к γ ₁, нижний «-» к γ ₂.

Совместное решение двух уравнений (1), составленных для каждого из двух случаев при известных параметрах положения системы (Y_Т1, Y_Т2, Y₁, Y₂, α ₁₁, α ₂₂), позволяет определить полярные координаты центра тяжести машины ρ и φ. К декартовым координатам центра тя­жести можно перейти известным способом [4]:

Параметры γ_Т1, γ_Т2, γ ₁, γ₂, α₁₁, α₂₂ пред­варительно определяются из математических моделей, описывающих каждое из двух равно­весных положений системы. Модели содержат уравнения равновесия и уравнения, выражаю­щие геометрические связи элементов в систе­ме. Два силовых и одно моментное уравнения равновесия траверсы имеют вид

где сила натяжения тягового троса определя­ется по формуле

Геометрические уравнения выражают замкнутость геометрически изменяемого че­тырехугольника AGKO:

В проекциях на оси z и x и получим еще два уравнения

Таким образом, получено по пять урав­нений для каждого случая i с шестью пере­менными параметрами: T_1i,T_2i, α_1i, α_2i, γ_Ti, γ_i. Один параметр среди них можно считать неза­висимым и подлежащим измерению. Остальные пять параметров определяются в зави­симости от него через пять составленных уравнений.

Если выбрать в качестве независимого измеряемого параметра геометрический, на­пример угол наклона машины γ _i, то исчезает необходимость в определении силовых пара­метров, а значит, и в использовании силоизме­рительных средств. Угол наклона достаточно просто определить экспериментально, напри­мер, по разнице высот двух точек машины E и F над уровнем пола по формуле

Таким образом, мы удостоверились в принципиальной возможности определения высотной координаты центра тяжести подве­шиванием и в отсутствии необходимости ис­пользования для этого каких-либо силоизме­рительных средств.

Вторым этапом решим пространствен­ную задачу и разработаем алгоритм определе­ния положения центра тяжести.

Решение пространственной задачи

Решение задачи в пространстве во многом аналогично решению плоской задачи. Основ­ные отличия в большем количестве параме­тров, описывающих равновесные состояния элементов измерительной системы, которые определяются большим числом совместно решаемых уравнений.

В пространстве удобно пользоваться формулами матричных преобразований при пространственных поворотах и смещениях [4]. Поэтому пространственные объекты зададим в виде матриц координат их узловых точек. Силы в пространстве определяются тремя не­зависимыми параметрами. Зададим их проек­циями на оси координат, это позволит исполь­зовать в качестве плеч моментов в уравнениях статики соответствующие координаты точек приложения этих сил.

Расчетные схемы системы в пространстве для двух взвешиваний изображены на рис. 4. Положение траверсы ABDEF в случае i зада­ется углами ее поворота вокруг собственных координатных осей γ_Tix, γ_Tiy и γ_Tiz, n_A — век­тор нормали к плоскости фигуры BDEF. T_jik — проекции силы натяжения стропы j в случае i на координатную ось k.

Рис. 4 (начало). Расчетные схемы для пространственной задачи: а — до перемены пар строп местами

Рис. 4 (окончание). Расчетные схемы для пространственной задачи: б — после перемены пар строп местами

Если матрица пространственных коор­динат узловых точек траверсы до ее поворота вокруг собственных осей, проходящих через шарнир А,

то в установившемся равновесном состоянии координаты узловых точек зависят от углов ориентации траверсы γ_Tiy и γ_Tiz в соответ­ствии с известной формулой

Координаты концов строп связаны с ко­ординатами узловых точек траверсы уравне­нием

где T_ij — силы натяжения в стропах, T_ij =

BO, DG, FM, EK — длины строп в растянутом под нагрузкой состоянии.

По закону Гука длина стропы j в растя­нутом состоянии l_j + Jl_jT_ji, где J — продольная податливость стропы [5].

Представленные в уравнениях (10) и (11) координаты узловых точек используются в ма­тематических моделях положения системы в двух случаях.

Математические модели представляют собой совокупность уравнений равновесия и геометрических уравнений. Шесть уравнений равновесия траверсы для случая i имеют вид

где T — сила натяжения тягового троса, опре­деляется по формуле (6);

m B ∈ (B, E, F, D), — зависимости координат узло­вых точек от углов ориентации траверсы, вы­числяются из формулы (10).

Геометрические уравнения выражают условия замкнутости пространственных четы­рехугольников BOKE и BOMF при различных углах ориентации машины в пространстве γ_iy и γ_iz:

В проекциях на координатные оси с уче­том (10) и (11) получаем дополнительно девять уравнений:

При известных углах ориентации машины система пятнадцати уравнений (12) –(26), решенная относительно 15 неизвестных – T_1ix , T_1iy , T_1iz, T_2ix , T_2iy , T_2iz, T_3ix , T_3iy , T_3iz, T_4ix , T_4iy , T_4iz, γ_Tix , γ_Tiy , γ_Tiz, – позволяет полностью определить параметры положения системы в данном случае i.

Углы ориентации машины в простран­стве γ_ix , γ_iy и γ_iz в случае i находятся из мат­ричного преобразования координат трех точек V, Q, R при повороте машины (см. рис. 4):

Если выразить из формулы (27) разницы высотных координат точек V, Q, R попарно и приравнять их к разницам измеренных высот этих точек над уровнем пола, то получим си­стему трех уравнений для определения углов

Параметры положения системы в двух случаях необходимы для определения коор­динат центра тяжести машины из моментных уравнений равновесия

где функциональные зависимости координат центра тяжести машины в системе xyz от ко­ординат центра тяжести в собственной систе­ме координат X_c , Y_c , Z_c :

функциональные зависимости координат уз­ловых точек траверсы от углов ее ориентации выражаются из формулы (10).

Решая уравнения (29) относительно X_c , Y_c , Z_c , определяем искомое положение цен­тра тяжести машины.

Таким образом, при известных парамет­рах измерительной системы — m, m_T , Z_cT , H_T ,a_T , b_T , L, L_M , L_O, B, l₁, l₂, l₃, l₄, J — алгоритм определения центра тяжести машины в про­странстве включает в себя следующие действия:

1. подвесить систему (см. рис. 4, а) и до­ждаться установившегося равновесия;
2. измерить высоту трех точек машины h_V1, hQ₁, h_R1 над уровнем пола;
3. решить систему уравнений (12) — (26), приняв i = 1 относительно T_11x, T_11y, T_11z, T_21x, T_21y , T_21z, T_31x , T_31y , T_31z, T_41x , T_41y , T_41z, γ_{T x1} , γ_{T y1} , γ_T1z
4. поменять пары строп 1, 2 и 3, 4 (см. рис. 4) местами, подвесить систему и дождать­ся установившегося равновесия;
5. определить высоту точек машины h_V2, hQг, h_R2 над уровнем пола;
6. решить систему уравнений (12) — (26), приняв i = 2 относительно T_12x , T_{12 y} , T_12z, T_22x , T_{22 y} , T_22z, T_32x , T_{32 y} , T_32z, T_42x , T_{42 y} , T_42z, γ_{T x 2} , γ_{T y 2} , γ_{T 2z};
7. решить систему уравнений (28) для каждого из двух случаев подвешивания и опре­делить углы y_1x y_1y y_1z y_2x y_2y y_2z;
8. использовать параметры, найденные в п. 3, 6, 7, для решения системы уравнений (29) относительно координат центра тяжести машины в собственной системе координат X_c ,Y_c, Z_c.

Для уменьшения трудоемкости матема­тической обработки результатов измерений была составлена программа в среде MathCAD. Преимущества использования MathCAD для решения данной задачи обусловлены наличием встроенных средств для расчета систем нели­нейных уравнений.

Составленная программа позволяет ав­томатически вычислить координаты центра тяжести машины в зависимости от параметров измерительной системы и полученных измере­нием значений высот точек V, Q, R машины над уровнем пола для двух случаев подвешивания. Программа выводит численные значения коор­динат и показывает положения измерительной системы с центрами тяжести элементов в трех проекциях для каждого случая, а также центр тяжести машины в ее собственной системе координат в трех проекциях. Примеры резуль­татов работы программы приведены на рис. 5.

Заключение

Разработанный метод определения координат центра тяжести машины не требует исполь­зования силоизмерительных устройств в со­ставе измерительной схемы, ориентирован на применение простых имеющихся в наличии цеховых средств подвешивания машины, по­зволяет определять все три координаты цен­тра тяжести и является хорошей альтернати­вой методу, используемому на предприятии.

Снизить трудоемкость математической обработки результатов измерений позволяет написанная на основании разработанного ал­горитма программа.

В рамках данной статьи рассмотрена принципиальная возможность определения центра тяжести предлагаемым способом, осно­ванная на математических выкладках. В рам­ках дальнейших работ будет оценена точность метода, исследовано влияние погрешностей применяемых средств на погрешность опреде­ления центра тяжести, представлены результа­ты пробных испытаний на базе производства АО «ИЭМЗ «Купол».