17.3.1. Общие сведения о пересечении геометрических тел
Основная задача взаимного пересечения геометрических тел состоит в определении места точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям пересекающихся тел. Это геометрическое место точек представляет собой линию пересечения данных поверхностей.
Для нахождения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, используют:
вспомогательные секущие поверхности (плоскости частного или общего положения, кривые поверхности);
образующие кривых поверхностей;
ребра многогранных поверхностей;
вспомогательные прямые линии, лежащие в гранях многогранных поверхностей.
В зависимости от вида пересекающихся поверхностей и их взаимного расположения линия пересечения может быть:
Линия пересечения может быть плоской или пространственной.
Способы построения линии пересечения определяются прежде всего видом пересекающихся поверхностей, поэтому их принято рассматривать раздельно:
взаимное пересечение поверхностей многогранников;
взаимное пересечение кривой и многогранной поверхности;
взаимное пересечение кривых поверхностей.
В необходимых случаях для упрощения или уточнения построений прибегают к способам преобразования эпюра.
На чертежах, связанных с построением линии пересечения поверхностей, устанавливают видимость этой линии относительно пересекающихся поверхностей и контуров самих пересекающихся поверхностей относительно друг друга. Линия пересечения считается «видимой», если она принадлежит «видимой» стороне каждой из пересекающихся поверхностей.
17.3.2. Взаимное пересечение поверхностей многогранников
Линия, образуемая при пересечении многогранных поверхностей, представляет собой одну или несколько замкнутых пространственных ломаных линий. В зависимости от способа определения элементов ломаной линии (ее звеньев или вершин) построение линии пересечения поверхностей многогранников может производиться путем:
определения отрезков прямых (т. е. определения звеньев ломаной), по которым грани одного многогранника пересекают грани другого — «спосо-
определения точек встречи ребер первого многогранника с ребрами второго и ребер второго многогранника с гранями первого (т. е. определения вершин ломаной) — «способом ребер» .
В частном случае вершина ломаной линии может оказаться точкой пересечения ребер многогранников.
Пересечения геометрических тел
В первом способе решения задача сводится к многократному построению линии пересечения плоскостей, в которых лежат грани многогранников, во втором — к построению точек пересечения прямых (ребер) с плоскостями, заданными гранями многогранника.
При построении линии пересечения многогранных поверхностей выбирают тот способ, который дает более простые построения, при этом возможно комбинированное использование обоих способов. На практике пользуются главным образом вторым способом.
Существуют правила, которыми следует руководствоваться при построении линии пересечения двух многогранников.
Если хотя бы одна проекция ребра многогранника не пересекает проекцию грани другого многогранника, то данное ребро не пересекает этой грани (однако пересечение всех проекций ребра одного многогранника со всеми одноименными проекциями граней другого многогранника не означает, что эти ребро и грань пересекаются).
Проекции линии пересечения располагаются в пределах фигуры, образованной при наложении одноименных проекций двух многогранников.
Звенья ломаной, образуемой при пересечении двух многогранников, лежат в одной и той же грани как первого, так и второго многогранника (для оп-
ределения последовательности соединения вершин ломаной используют
вспомогательные диаграммы или таблицы, например, так называемую «сетку» Д. Г. Ананова 2 ).
При обозначении видимости линии пересечения относительно поверхностей многогранников считается, что звено ломаной является «видимым», если обе грани многогранников, в которых лежит это звено, также «видимые».
На рис. 17.34 показано построение линии пересечения прямой четырехугольной призмы D 1 Е 1 F 1 G 1 D 2 E 2 F 2 G 2 и треугольной пирамиды SABC . Построение выполнено способом «ребер», т. е. путем определения точек пересечения ребер одного многогранника с гранями другого.
Проанализируем положение проекций ребер призмы относительно граней пирамиды. На фронтальной плоскости проекций ребра призмы, лежащие в обоих основаниях, не пересекают проекции граней пирамиды, следовательно, они не пересекают поверхность пирамиды. На горизонтальной плоскости
2 Профессор Давид Георгиевич Ананов (1916—1976) преподавал в 1930—40-х гг. в Ленинградском институте точной механики и оптики и Ленинградском индустриальном институте. Занимаясь теорией начертательной геометрии, он разработал и предложил метод разверток поверхностей, ныне носящий его имя.
проекций ребра D 1 D 2 , G 1 G 2
и F 1 F 2 , спроецировавшиеся в точку, не пересе-
кают проекций граней пирамиды, поэтому они также не пересекают поверхности пирамиды. Только ребро Е 1 Е 2 призмы может пересекать поверхность пирамиды.
Рис. 17.34. Построение линии пересечения прямой четырехугольной призмы и треугольной пирамиды
Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к выводу, что ребра SA , SB и SC пирамиды также могут пересекать поверхность призмы.
Поскольку грани призмы лежат в горизонтально-проецирующих плоскостях, положение горизонтальных проекций точек пересечения (точек 1 , 2 , 3 , 4 , 5 
и 6 ) ребер SA , SB и SC с гранями призмы очевидно. Фронтальные и профильные проекции этих точек лежат на пересечении линий проекционной связи, проведенных из найденных точек, и соответствующих проекций ребер пирамиды.
Для нахождения точек пересечения ребра Е 1 Е 2 призмы с поверхностью пирамиды через это ребро и вершину S пирамиды проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость . В сечении этой плоскостью пирамиды образуется треугольник SL 1 L 2 . В точках пересечения ребра Е 1 Е 2
Пересечения геометрических тел
с контурами сечения образуются точки 7 и 8 — точки пересечения ребра Е 1 Е 2 с поверхностью пирамиды. Эти точки легко найти на фронтальной плоскости проекций. На горизонтальной плоскости проекций ребро Е 1 Е 2 спроецировалось в точку, и, следовательно, все точки, лежащие на этом ребре (в том числе и точки 7 и 8 ), находятся в этой выродившейся проекции:
E 1 
E 2 
7 
8 .
Последовательность соединения построенных точек определена при помощи «сетки» Д. Г. Ананова — таблицы, строки и столбцы которой имитируют грани многогранников, а сами линии — их ребра (см. рис. 17.34, справа ).
Столбцы таблицы D 1 G 1 G 2 D 2 , G 1 F 1 F 2 G 2 и т. д. отображают боковые грани призмы, а строки ASSB , BSSC , CSSA — грани ASB , BSC , CSA пирамиды. На диаграмму наносят точки, принадлежащие линии пересечения. Например, точка 2 находится на ребре SB пирамиды и в грани G 1 F 1 F 2 G 2 призмы, точка 6 — на этом же ребре пирамиды и в грани E 1 D 1 D 2 E 2 призмы, точка 7 — на ребре Е 1 Е 2 призмы и в грани SBC пирамиды и т. д. Построенные на «сетке» Д. Г. Ананова точки соединяются между собой по следующему правилу: можно соединить только те точки, которые лежат в пределах одной ячейки. Точку 1 можно соединить только с точками 2 и 3 , точку 2 — только с точками 1 и 3 и т. д.
Таким образом, линия пересечения заданных многогранников распалась на две линии: треугольник 123 и пространственную замкнутую ломаную линию 457684 . При помощи алгоритма, найденного по «сетке» Д. Г. Ананова, фронтальные проекции вершин этих фигур следует соединить отрезками прямых с соблюдением правил обозначения взаимной видимости.
На плоскости 2 в призме «видимыми» будут грани E 1 F 1 F 2 E 2 и F 1 G 1 G 2 F 2 , в пирамиде — грани SBC и SCA . Одновременно этим граням принадлежат отрезки 13 , 32 , 45 и 57 , следовательно, они считаются видимыми; остальные отрезки закрываются от непосредственного обзора поверхностями многогранников.
Пример 66. 1) Построить линию пересечения правильной четырехугольной пирамиды и параллелепипеда (рис. 17.35). 2) Построить трехмерную модель и ассоциативный чертеж заданных геометрических тел.
1. Обозначим вершины многогранников и проанализируем положение ребер пирамиды относительно граней параллелепипеда. На плоскости 2 ребро SC не пересекает проекцию параллелепипеда, следовательно, оно не пересекает его поверхность. На плоскости 1 ребра ВС и DC , лежащие в основании пирамиды, не пересекают проекции граней параллелепипеда, поэтому они также не пересекают параллелепипед.
